Matematichiamoci

La simultaneità e il paradosso dei gemelli

2011-11-21T22:50:00.005+01:00

Immaginiamo di avere una lampadina situata nel punto medio di una lunga pista rettilinea agli estremi della quale si trovano due osservatori, che chiamiamo A e B. C'è il buio completo in questo grande laboratorio e ad un certo punto, tramite un comando, accendiamo a distanza la lampadina.Alla velocità di 300.000 km/s parte l'onda luminosa in entrambi i versi (per la precisione, in tutti i versi!). Le onde nella direzione AB giungono agli osservatori nello stesso istante in quanto la lampadina è alla stessa distanza da essi. Ciò lo possiamo tradurre nell'idea di simultaneità. I due osservatori vedono accendersi la lampadina nello stesso istante. Immaginiamo ora che gli osservatori si trovino su un carrello che corre a velocità costante, con direzione AB e verso tale che l'osservatore A si avvicini alla lampadina mentre l'osservatore B se ne allontani. Se accendiamo ora la lampadina cosa accade? Di nuovo le onde luminose partono alla loro velocità maestosa ma ora quella che urta l'osservatore A giunge al bersaglio un pò prima della sua antagonista. Questo perchè la distanza tra la lampadina ed A diminuisce istante per istante mentre aumenta, nella stessa misura, quella tra la lampadina e l'osservatore B e, quindi, la luce impiega meno tempo a percorrere la distanza che la separa da A. L'evento non è più simultaneo per A e B. Per la precisione A ne conclude che la lampadina si è accesa prima di quando si è accesa secondo B. Da questa considerazione sicuramente comprensibile e assolutamente alla portata dell'intuizione umana segue un netto cambiamento nella nostra concezione del tempo. La perdita di simultaneità per eventi misurati da sistemi di riferimento in moto relativo comporta una diversa scansione del tempo in codesti sistemi. Il tempo non è una grandezza assoluta ma è relativa al moto del sistema nel quale lo si misura.

Così Einstein tirò fuori il famoso paradosso dei gemelli. Si tratta di un'ipotesi scientifica e realistica per quanto appaia, appunto nella nostra vecchia concezione del tempo, pura fantascienza. Il paradosso si basa sulla conclusione che il tempo si dilati, ovvero rallenti, per quei sistemi di riferimento che sono in moto rispetto ad un riferimento "fisso". Ad esempio se dalla Terra potessimo vedere un orologio posto in un'astronave che ruota molto velocemente intorno al pianeta, potremmo notare che quest'orologio scorre più lentamente rispetto a quello che abbiamo al polso. Allo stesso modo, una persona su quell'astronave vedrebbe il nostro orologio scorrere più velocemente del suo. Allora se due gemelli vengono separati di modo che uno resti sulla Terra e l'altro salga sulla nostra astronave superveloce, dopo vent'anni (misurati sulla Terra), al loro rincontrarsi, il primo sarà invecchiato appunto di venti anni, mentre il secondo sarà invecchiato decisamente meno.

Scuole elementari. I bimbi sono nati per amare la matematica, i maestri per fargliela odiare.

2011-09-09T13:18:00.007+02:00

In Italia, dai 6 ai 10 anni di età, è obbligatoria la frequenza delle cosiddette scuole elementari. Si tratta di cinque anni di studi basilari, fondamentalmente della grammatica italiana e dell'aritmetica dei numeri naturali, che anticipano le discipline affrontate poi alle scuole medie, inferiori e superiori. E' quella l'età migliore per entrare in sintonia con la matematica. Un bambino di sette/otto anni è praticamente il miglior terreno nel quale far fiorire la passione per questa disciplina di studio che, in realtà, è molto di più. Eppure nella stragrande maggioranza dei casi i maestri elementari insegnano semplicemente a sommare numeri e a memorizzare le tabelline. Ritengo che sia lì il problema dell'insegnamento della matematica nelle scuole italiane. In quei cinque anni di partenza. Un esempio concreto mi viene suggerito da uno dei problemi principali che affliggono i ragazzini alle prese con la semplice aritmetica: la capacità e la rapidità di far conti.

Quanto tempo impiegate a moltiplicare, mentalemente, 26 e 15? o ancora a moltiplicare 37 e 6? E' questo un esperimento che può essere agevolmente svolto sia in una classe, sia dai genitori in casa.

Spesso senza calcolatrice questi calcoli diventano addirittura inaffrontabili per i nostri ragazzi. Eppure le armi le hanno acquisite tutte, proprio nei primi anni di scuola. Solo che nessuno glielo ha detto! La proprietà distributiva la imparano tutti a memoria e probabilmente i più acuti si chiedono a cosa serva. Beh, uno degli utilizzi più concreti che potrebbero farne è proprio il prodotto tra numeri "grandi".

Allora 37 x 6 altro non è che la somma di 30 x 6 e di 7 x 6 (ecco la proprietà distributiva), dove in una frazione di secondo si sa determinare che 30 x 6 faccia 180 e che 7 x 6 faccia 42. Il tutto allora si riduce a sommare 180 e 42, che da il risultato 222. Ecco 37 x 6 = 222. Un secondo e mezzo, non di più, per ottenere il risultato di una moltiplicazione apparentemente ostica. Ma con tale fava si catturano due piccioni. E il secondo è lo sviluppo di capacità di calcolo mentale. Si impara così sia a fare calcoli velocemente sia a far lavorare il cervello. E inoltre si comprende meglio che l'aritmetica, in fondo, non è altro che un bel gioco da presentare ai bambini e non un'odiosa memorizzazione di moltiplicazioni. 3 x 3 = 9 , 3 x 4 = 12 , 3 x 5 = 15.... Forse è giunto il momento di togliere di mezzo questa metodologia antiquata e anacronistica. Di esempi se ne potrebbero fare ancora molti. Il punto è che la matematica non è una disciplina di studio come le altre. In storia, in letteratura, nelle scienze la bravura di un individuo è strettamente collegata alle sue conoscenze, agli studi che ha fatto al riguardo. Quindi, almeno in linea di principio, il maestro è sempre più bravo dei propri alunni. In matematica non è così. Un bimbo di sei anni può essere molto più bravo del proprio maestro. Ora se la matematica viene presentata a questo bimbo come un continuo memorizzare ed elencare prodotti tra numeri ad una cifra, enunciare meccanicamente proprietà delle operazioni tra numeri e così via è facile che egli finisca col perdere una parte dell'entusiasmo che la sua duttilità per tale disciplina avrebbe inevitabilmente fatto emergere in un contesto di insegnamento indirizzato alla comprensione e all'utilizzo delle regole del gioco, piuttosto che alla scarna memorizzazione. Lasciamo che i bimbi amino la matematica, poiché è nella loro natura.

Insieme per sempre. La coppia più bella del sistema solare.

2011-08-03T13:59:00.007+02:00

Quattro miliardi di anni fa, ai primordi del sistema solare, il nostro pianeta era una sfera di lava fusa e la rotazione intorno al proprio asse, inclinato di pochi gradi, aveva una durata di circa 8 ore. Tra le orbite della Terra e di Venere si trovava allora un pianeta delle dimensioni prossime a quelle attuali di Marte. Tale pianeta, deviato dalla gravità di Giove, finì col collidere con la Terra. La collisione avvenne ad una velocità prossima ai 40mila chilometri orari e l'urto fu angolato e laterale. L'immediata conseguenza di tale urto fu un'inclinazione dell'asse terrestre di circa venti gradi e un'accelerazione del suo moto rotatorio che fece dimezzare la durata del giorno. Allo stesso tempo la grande quantità di materia che dopo l'urto fu lanciata nello spazio intorno alla Terra si unì per gravità e formò la Luna mentre un'ingente parte della massa del pianeta proiettile andava ad incrementare la massa terrestre. Alla sua formazione, la Luna si trovava a circa 20mila chilometri dalla Terra e la sua influenza gravitazionale sul nostro pianeta era circa 225 volte più intensa di quella attuale.

Cosa è accaduto in questi 4 miliardi di anni? Perché al momento il giorno dura 24 ore e non 4? Perché la Luna si trova a 380mila chilometri e non più a 20mila?

La risposta sta nelle maree. In effetti le prime maree non avevano come oggetto l'acqua degli oceani poiché 4 miliardi di anni fa non esisteva alcun oceano. La Terra allora era ancora fusa anche nel suo strato più esterno e le maree causate dalla fortissima gravità lunare riguardavano proprio la roccia fusa che ricopriva il nostro pianeta. Due gli effetti di tali maree di lava. Il primo sulla velocità di rotazione terrestre. Difatti l'attrito radente tra la lava che si innalzava e quella sottostante, sulla quale scivolava, rallentava sensibilmente tale rotazione. Un effetto frenante. Si immagini una biglia che ruota e qualcosa che le strofina sopra in modo da rallentare pian piano tale rotazione. Già un miliardo di anni dopo il giorno terrestre era arrivato a durare 9 ore. Il secondo effetto (noto come effetto fionda) si ripercuoteva sulla Luna. Le maree deformavano la Terra, rendendola ovaloide con le parti più accentuate allineate con la luna e le parti più rientrate ai lati. La forte velocità di rotazione della Terra faceva in modo che la parte accentuata sopravanzasse però la Luna, la quale attratta dalla gravità di questa zona con più massa finiva col rincorrerla, aumentando la propria velocità e conseguentemente allontanandosi su un'orbita leggermente più esterna. Così l'effetto maree gradualmente, istante per istante, rallentava la rotazione terrestre e allo stesso tempo allontanava la Luna. Oggi le maree continuano ad esserci nonostante la crosta sia solidificata già da tre miliardi di anni. Sono le acque degli oceani a fare questo gioco. E così la Terra continua a rallentare la sua rotazione e ad allungare il suo giorno mentre la Luna continua ad allontanarsi. Ovviamente le maree degli oceani non sono della stessa intensità di quelle iniziali quindi tali fenomeni sono più lenti rispetto al principio. Il rallentamento rotatorio è tale che per avere un giorno di 25 ore dovremo aspettare 500 milioni di anni e allo stesso tempo la Luna si allontana di circa 3,8 cm all'anno. In linea teorica un giorno la Luna fuggirà dalla gravità terrestre e la perderemo. La sparizione della Luna sarà un duro colpo per la stabilità del nostro pianeta poichè essa fa in modo che il nostro asse resti più o meno stabile, tirando l'equatore. Le conseguenze della perdita del nostro satellite sarebbero colossali su larga scala e porterebbero alla compromissione della nostra sopravvivenza. Ma è una cosa che nella realtà non potrà accadere. Già, perchè molto prima che la Luna possa fuggire da noi, il Sole sarà divenuto talmente grande da ingoiare Mercurio e Venere e giungere a sfiorare il sistema Terra-Luna, facendo evaporare gli oceani, sparire ogni forma di vita e fondere le croste esterne. La Terra e la Luna tra circa 4,5 miliardi di anni bruceranno una accanto all'altra.

Evariste Galois, un genio di 200 anni

2011-07-28T14:50:00.007+02:00

Il 25 ottobre del 1811 nacque a Bourge La Reine (oggi quartiere a sud di Parigi) Evariste Galois. Fu un ragazzo impegnato sul piano politico, in quegli anni di grande fermento a Parigi, a cavallo tra le due rivoluzioni. Nel 1830, all'età di 19 anni, finì in galera per aver minacciato alla vita di Luigi Filippo. In seguito si innamorò di una ragazza conosciuta nel cortile di quel penitenziario e, a causa di questo amore non corrisposto ma anzi male accettato, fu sfidato a duello dal fidanzato e dallo zio della ragazza. In quel duello alle pistole fu colpito all'addome e lasciato sul posto. Qui fu trovato da un contadino che lo portò in ospedale. Il giorno seguente morì. Era il 31 maggio del 1832. La notte precedente il duello Evariste scrisse su una decina di fogli appunti che riteneva importanti e li lasciò al suo amico, al fine di farli leggere ad alcuni grandi matematici del tempo. In quegli appunti si celava una delle più grandi scoperte degli ultimi secoli, la base di quella che oggi chiamiamo Algebra Moderna.
Ed è per questo che il nome di Galois resta nella storia della matematica e delle scienze in generale, poichè la sua teoria dei gruppi di trasformazione non solo si pone alla base dell'algebra e della geometria, rendendo queste due branche un'unica grande teoria, ma permette la comprensione di innumerevoli fenomeni che avvengono in natura. In chimica come in botanica, in genetica come nelle scienze naturali.
All'età di 17 anni Galois, che essenzialmente studiava la matematica da autodidatta per pura passione, ben lontano dai programmi svolti al liceo, si imbattè nel problema di decidere se equazioni algebriche di grado superiore al quinto fossero o meno risolubili mediante una formula (come avviene ad esempio per quelle di secondo grado). Lo studio di tale problematica lo portò a concepire i gruppi di trasformazione e a stabilire tra l'altro l'impossibilità di una tale risoluzione per le equazioni di grado maggiore o uguale al quinto. Egli fu molto entusiasta di questo suo lavoro e in ben due occasioni spedì i suoi risultati all'accademia delle scienze. Ma in entrambi i casi il suo lavoro fu smarrito. Non solo. Galois tentò in due occasioni di entrare all'ecole normale di Parigi e in entrambe la commissione esaminatrice lo bocciò. Così solo dopo la sua morte il mondo scientifico ha potuto finalmente conoscere cosa quel ragazzo aveva concepito. Nel 1909, quasi 80 anni dopo la morte di Galois, L'Ecole Normale chiese ufficialmente "scusa all'umanità" per non aver saputo riconoscere, e anzi per avere espulso, una delle menti più brillanti del diciannovesimo secolo. Oggi Galois è considerato in ambito matematico uno dei più grandi dell'era moderna, secondo (forse) solo a Gauss. La storia di Galois, così romantica che sembra essere uscita dalla mente di un regista o di uno scrittore piuttosto che dalla realtà storica, è uno dei sintomi più acuti di come la stoltezza e la negligenza degli uomini addetti alla verifica, al controllo e all'esame del lavoro altrui possano danneggiare, prima ancora che la persona in causa, l'intero corso della conoscenza umana. Se Galois fosse stato accolto all'ecole normale, se il suo lavoro fosse stato seriamente vagliato dalle commissioni, con ogni probabilità la mattina del 30 maggio 1832 egli non si sarebbe trovato coinvolto in quel duello. Con ogni probabilità egli avrebbe vissuto ancora per decenni e chissà cos'altro avrebbe donato alla conoscenza matemaitca e scientifica del suo tempo. Basti immaginare come sarebbero cambiate le cose se Gauss fosse morto a vent'anni anziché a settantotto.

La forza di gravità? Non esiste.

2010-10-11T13:38:00.008+02:00

Esiste una forza attrattiva che si esercita tra due masse. Tale forza è direttamente proporzionale a esse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza che le separa. E' l'arcinota forza di gravità. Quella che ci tiene incollati al suolo, che trattiene i pianeti in orbita intorno al sole e il sole intorno al centro della galassia e la galassia intorno al baricentro del sistema di galassie cui appartiene. Sappiamo che la stessa forza si esercita tra noi e una penna, tra due granelli di sabbia e tra qualsiasi agglomerato di materia. E' una forza che ha intensità molto bassa. Difatti riusciamo a percepirla solo quando abbiamo a che fare con masse molto grandi, come appunto i pianeti o le stelle. La fisica classica pone nella meccanica una delle sue basi. E la meccanica trova nella gravità la forza più importante. Eppure questa forza non esiste.
Nel 1916 Albert Einstein diede una nuova visione dello spazio e, con essa, una nuova lettura del fenomeno che per più di duecento anni abbiamo inteso come forza attrattiva.
Una massa curva lo spazio intorno ad essa proprio come fa una biglia di piombo posta su un tappeto elastico. Non vi è alcuna forza che attrae tra loro due masse. Semplicemente esse seguono per inerzia la curvatura dello spazio. Se lo spazio è "dritto", euclideo per intenderci, il moto di inerzia di una massa è rettilineo e uniforme, quindi per spiegare un moto orbitale è necessario considerare l'esistenza di una forza che agisca sulla massa. Ecco che in tale visione la luna orbita intorno alla Terra (in realtà intorno al baricentro del sistema Terra-Luna) perchè risente della forza gravitazionale terrestre. Ma nella realtà la luna non risente dell'azione di alcuna forza. Essa semplicemente segue la sua inerzia, ovvero le linee della curvatura dello spazio dovuta alla presenza del nostro pianeta.

Numeri Primi e Sicurezza

2010-05-29T09:33:00.014+02:00

Nel corso delle scuole elementari o, al più tardi, negli anni delle medie primarie, ci si imbatte nei numeri primi e si associa a questi numeri l'idea di mattoni con i quali costruire tutti i numeri naturali, mediante la moltiplicazione.
Si passa poi a mostrare i criteri di divisibilità per i numeri primi più piccoli e così si insegna a fattorizzare i numeri.

FATTORIZZARE I NUMERI : un problema che si impara ad affrontare da bambini.
FATTORIZZARE I NUMERI : un problema che neanche i computer riescono a risolvere.

Non c'è alcuna contraddizione nei due asserti precedenti. Difatti noi siamo abituati ad avere a che fare con numeri molto piccoli. 120, 1345, 5miliardi ... sono numeri piccoli per quanto nella nostra quotidianità possano apparire grandi. Intendiamo cioè che fattorizzare un numero di due, tre, dieci cifre può essere effettivamente un gioco da ragazzi. Ma quanto può essere complicato fattorizzare un numero di cento cifre? Intanto siamo in grado di concepire la grandezza di un tale numero? Tanto per aiutare l'intuizione, se avessimo una quantità di penne esprimibile con un numero di cento cifre...potremmo regalarne un miliardo di miliardi ad ogni atomo dell'universo e averne ancora per noi una scorta immensa!
Allora, se prendiamo due numeri primi di cinquanta, sessanta cifre ciascuno e li moltiplichiamo tra loro otteniamo un numero grandissimo. Bene, fattorizzarlo sarebbe semplice come fattorizzare 120? Ovviamente no, ma quanto sarebbe difficile? Quanto tempo impiegherebbe un computer a trovare i due primi che lo compongono? E' chiaro che tale tempo è legato al numero di primi che si possono trovare in quell'intervallo, cioè a quanti primi ci sono nell'intervallo dei numeri che hanno cinquanta, sessanta cifre. Più ce ne sono più il computer deve "crivellare".
Ce ne sono più di quanti siano gli atomi nell'uiniverso.
Allora è quasi impossibile risolvere il problema, un pc impiegherebbe secoli.
E' su ciò che si basa la sicurezza delle carte di credito, delle banche, delle transazioni : un hacker che volesse accedere ad un'area protetta dovrebbe praticamente essere in grado di trovare i due primi che compongono un numero (chiave pubblica, facilmente riconoscibile) di cento, centoventi cifre. E non può!
Spesso mi viene chiesto "ma in fondo a che serve la matematica?"...beh, questa argomentazione è una delle mie risposte preferite.
E' grazie alla matematica che potete far spesa con la vostra carta di credito ed essere sicuri che nessuno, genio che sia, potrà accedere al vostro conto. Senza i numeri primi la nostra economia sarebbe indietro di cento anni.

Caso di tre primi con n dispari - suggerimento da un lettore

2009-10-02T14:58:00.005+02:00

Un gentile lettore (che tra l'altro ha preferito restare anonimo) ha giustamente fatto notare come il caso di tre primi minori di n e primi con esso sia ancora più semplice da dimostrare quando n è dispari.

Se n è dispari, uno dei tre primi minori di esso è proprio il numero 2 = p.
Allora Q = 2n - q ed R = 2n - r non possono avere p nella loro composizione (considerata per assurdo che nessuno di essi sia primo, vedi il post precedente).
In particolare,

Q non può essere composto da p, nè da q (altrimenti q verrebbe ad essere anche un fattore di n) nè può essere una potenza di r (poichè ricordiamo r > n/2). Ne segue l'assurdo.

In poche parole, se 2 è un primo non appartente alla fattorizzazione di n, allora Q = 2n - q (dove q è il secondo primo non appartenente alla fattorizzazione di n) deve essere necessariamente primo.
E così il caso di 3 primi minori di n è completamente chiuso!

Sulla congettura di Goldbach : caso di tre primi (restrizione a n pari)

2009-09-25T13:12:00.006+02:00

Nel post datato 3 ottobre 2008 abbiamo mostrato la validità della congettura di Goldbach nel caso in cui vi fossero soltanto due primi minori di n e primi con esso.
Nel caso di tre primi possiamo giungere ad una dimostrazione ancora più agevole però dovendo considerare la restrizione ad n pari.
Allora, sia n un intero pari e siano p, q e r i tre primi minori di n (in ordine crescente) e primi con esso.
Siano P, Q ed R i corrispondenti interi nella simmetria rispetto ad n, ovvero sia

P = 2n - p
Q = 2n - q
R = 2n - r

Supponiamo per assurdo che P, Q ed R siano composti e non primi.
Per considerazioni fatte nel post del 3 ottobre r > n/2 e dunque r non può appartenere alla fattorizzazione di P. Da ciò segue che P può solo essere potenza di q.

Quindi, P = pot(q)

Q dal canto suo può essere potenza di p o prodotto di p per r (caso molto particolare che implica p = 3...comunque possibile).

Se Q = p * r allora n - q = Q - n è un numero minore di n che non può avere come fattori nè i fattori di n (altrimenti lo sarebbero anche di q), nè i fattori di Q (altrimenti lo sarebbero anche di n), nè tantomeno lo stesso q (che in tal caso dovrebbe essere fattore anche di n).
Nasce l'assurdo poichè n - q è un numero minore di n che non ha per fattore nessun primo minore di n.

Se Q = pot(p) allora R = pot(p) * pot(q) e il discorso fatto pocanzi per n - q lo si farebbe identico per n - r, che è un numero minore di n non divisibile per nessun primo minore di n.

La dimostrazione del caso di tre primi è così completa.
La restrizione al caso di n pari è necessaria poichè, senza di essa, n - q ( o n - r a seconda del caso da considerare ) potrebbe essere tranquillamente una potenza di 2 e quindi crollerebbe l'assurdo.

Ovviamente, questa procedura è adattabile al caso di due primi (dimostrato nel post del 3 ottobre con diversa procedura), solo che così bisognerebbe aggiungere la restrizione ad n pari.

In linea generale, dunque, la dimostrazione di Goldbach per n pari potrebbe basarsi sull'idea che, qualunque sia il numero di primi minori di n e primi con esso, necessariamente per almeno uno dei loro simmetrici rispetto ad n occorrerebbe considerare tutti questi primi (eccezione fatta chiaramente per il suo simmetrico) nella sua fattorizzazione.
E' a questo che si cerca di lavorare.

Dimostrazione di Goldbach nel caso di due primi minori di n

2008-10-03T13:43:00.000+02:00

Sia n tale che esistano solo due primi (il numero 2 non è da considerarsi primo, tanto non è restrittivo ai fini della dimostrazione) p e q minori di n e primi con esso.

Consideriamo i numeri h = 2n – p e k = 2n – q
Ovviamente se uno di essi fosse primo risulterebbe valida l’ipotesi di Goldbach.

Supponimao dunque che nessuno di essi sia primo, ovvero che entrambi siano composti.
Chi li compone? Ad esempio, quali sono i fattori di h ?
Quelli di n non possono essere altrimenti p = 2n – h li avrebbe anche esso come fattori e sappiamo che p è primo. Ma h non può essere composto neanche da p, altrimenti 2n = p + h e, in particolare n, avrebbe p come fattore.
Praticamente h può essere solo potenza di q.
Analogamente si vede che k può essere solo potenza di p.
Allora k – p è multiplo di p e h – q è multiplo di q.
Ma k – p e h – q sono lo stesso numero, infatti 2n = k + q = h + p da cui k – p = h – q .
Quindi k – p è multiplo sia di p che di q e cioè è multiplo del loro prodotto pq.
Si ha 2n = k + q = k – p + p + q = M(pq) + p + q.
Notiamo che p + q è un numero pari e così M(pq) è pari in quanto non è altro che k – p.
Dividendo entrambi i membri per 2 si ha
n = M(pq) + (p + q)/2
Da ciò ricaviamo che pq è sicuramente minore di n.
Ora, dal momento che tra un numero e il suo doppio c’è sempre un primo(thm Cebicev), deve esserci un primo tra q e pq. Tale primo è dunque minore di n oltre che maggiore di q. Ma di che primo si tratta? Non essendo né p né q, deve essere necessariamente uno di quelli che compongono n. Chiamiamolo a.
Sempre per il teorema di Cebicev, tra a ed n deve esserci un primo, che, non potendo essere né p né q, deve essere ancora necessariamente un fattore di n. In tal modo si procede determinando sempre l’esistenza di un nuovo fattore di n, ad infinito. L’assurdo è evidente.

La finestra giusta?

2008-09-29T20:40:00.003+02:00

Poniamoci davanti alla congettura di Goldbach e cerchiamo di capire, da un punto di vista squisitamente algoritmico, qual'è la questione. Supponiamo di avere un numero pari, che indichiamo con 2n tale che non esistano due primi p e q che sommati diano proprio 2n. Immaginiamo cioè che la congettura di Goldbach non sia verificata per un determinato 2n.

Dire ciò è come dire che n non si trova al centro tra due primi, ovvero che nella simmetria rispetto ad n, ad ogni primo minore di n corrisponde un numero composto dall'altra parte.

Il punto è che, in tal caso, ognuno di questi numeri composti non può che essere composto che dagli stessi primi minori di n. Difatti, un primo maggiore di n, moltiplicato per qualunque altro primo ( anche solo raddoppiato) rende un numero maggiore di 2n e chiaramente i numeri in questione sono compresi tra n e 2n. Inoltre, tali composti non possono avere tra i loro fattori primi che siano anche fattori di n, per ovvi motivi.

Quindi il tutto si riassume al seguente modo :

Se per qualche numero pari p = 2n non vale Goldbach, allora i primi minori di n ( e primi con n!) devono comporre, combinandosi esclusivamente tra loro, tutti i numeri che gli corrispondono nella simmetria rispetto ad n.

Per essere ancora più chiari, i k primi minori di n e primi con esso devono ricoprire combinandosi in produttorie i k posti equidistanti ad essi da n, dall'altra parte, cioè quelli che sommati ad essi danno 2n.

La congettura allora dice che quei k primi non possono ricoprire ognuno dei k posti che gli corrispondono simmetricamente rispetto ad n......almeno uno lo saltano!

Certo è un discorso molto difficile da portare avanti nel tentativo di estrarre una dimostrazione da questa considerazione. Basti pensare a quante siano le possibili combinazioni tra k numeri primi, a come sia complicato poter definire le restrizioni a tali combinazioni al fine di far rientrare tali prodotti nell'intervallo tra n e 2n ...

Una visione che fa comprendere come altri risultati (quello di Chen ad esempio) esulino completamente da tale interpretazione.

Qui non si tratta di valutare le probabilità, di raggiungere risultati apparentemente vicini a Goldbach....si tratta di capire se è possibile mostrare che dato un qualunque numero n, i k primi minori di esso e primi con esso non sono in grado di ricoprire tutti i k posti che gli corrispondono simmetricamente rispetto ad n.

La congettura di Goldbach - Presentazione

2008-09-26T11:57:00.007+02:00

E' noto che il matematico Christian Goldbach ha lasciato (nel 1742) un problema aperto in teoria dei numeri, problema affrontato in primis da Eulero e in seguito da generazioni di matematici; problema ad oggi irrisolto. La formulazione, e forse anche il senso, della congettura è molto semplice e comprensibile ai più :

ogni numero pari, maggiore di 2, è somma di due numeri primi

Ovvero, dato un qualsivoglia numero pari è sempre possibile determinare (almeno) una coppia di primi tali che diano come somma proprio quel numero pari di partenza. Nonostante non si sia ancora prodotta una dimostrazione di tale fatto, di sicuro nell'ultimo secolo si sono fatti passi avanti. Anche se su quell' avanti ci sarebbe da fare qualche chiarimento.

In effetti, il problema non è mai stato affrontato da un punto di vista strutturale, o quantomeno, mai con risultati se pur parziali. Un approccio seguito dai matematici è stato quello squisitamente statistico-probabilistico, che ha portato a ritenere che la congettura sia vera, anche se non dimostrata, sulla base del principio secondo il quale più è grande il numero pari in questione, maggiore è la probabilità di trovare due primi che sommati equivalgano ad esso. Unendo a tale teorema (detto dei numeri primi , fonte wikipedia) i risultati dei calcolatori elettronici, giunti a sondare la validità dell'asserto per tutti i numeri pari fino a valori importanti, quasi ci si accontenta da un lato e si ritiene la congettura, se non dimostrata, almeno assimilata. D'altro canto, nel corso di questo secolo, si è puntato soprattutto a girare intorno all'asserto di Goldbach, attaccando, e in parte dimostrando, risultati apparentemente correlati.

Come esempi citiamo Vinogradov, che nel 1937 dimostrò che ogni numero dispari maggiore di 3 elevato a 3 elevato a 15 è somma di tre primi o, ancora, Chen, che nel 1966 dimostrò che ogni numero pari abbastanza grande o è somma di due primi o di un primo e un semiprimo, ovvero un numero composto da soli due primi.

Oliveira e Silva, tramite potenti calcolatori, hanno verificato la validità della congettura fino a 1200000000000000000 (risultato aggiornato a settembre 2008).

E quindi?

La domanda che ci poniamo è se l'atteggiamento dei matematici che affrontano il problema sia forse una resa silente dinanzi ad esso. Come è possibile che le strade seguite siano ad oggi la verifica col calcolatore fino a cifre sempre più grandi, lo studio del problema su basi probabilistiche, facendo intervenire questi numeri abbastanza grandi o peggio la deviazione del problema su altri fintamente correlati ma che in realtà non hanno nulla a che fare con la congettura di Goldbach? E' il segno che questa, a differenza dell'ultimo teorema di Fermat, se ne starà davvero nascosta nel grande libro, senza mai uscirne?